Rational Trigonometry: Από τη σκοπιά του μη ειδικού

Θα επιχειρήσω να εξηγήσω κάποιες βασικές αρχές από την πρόταση του Wildberger για την τριγωνομετρία και τη γεωμετρία. Αυτά που θα πω είναι από τη σκοπιά του μη ειδικού, οπότε ζητάω συγγνώμη αν έχω καταλάβει λάθος αυτά που λέει ο καθηγητής στο έργο του.

Καταρχάς οι νόμοι της γεωμετρίας του Wildberger μπορούν να αποδειχτούν χρησιμοποιώντας μόνο άλγεβρα και αριθμητική. Ανάλυση, σε αντίθεση με την κλασσική τριγωνομετρία, δε χρειάζεται. Οι υπολογισμοί είναι πολύ εύκολοι και δε χρειάζονται πίνακες με τριγωνομετρικούς αριθμούς ή υπολογιστές.

Πώς το καταφέρνει αυτό; Χρησιμοποιώντας μεθόδους αναλυτικής γεωμετρίας, με έναν διαφορετικό τρόπο. Θα εξηγήσω αμέσως πόσο διαφορετικός είναι αυτός ο τρόπος, αλλά πρώτα θέλω να γίνει σαφές ότι μιλάμε για άλγεβρα και αριθμητική, για συντεταγμένες και εξισώσεις και αναλογίες.

Ας δούμε τώρα τις διαφορές με αυτά που ξέραμε μέχρι τώρα. Καταρχάς, αντί για αξιώματα, έχει ξεκάθαρους ορισμούς. Για παράδειγμα, ως σημείο ορίζεται ένα διατεταγμένο ζεύγος αριθμών και ως ευθεία ορίζεται μια αναλογία τριών αριθμών < a : b : c > με a και b να μην είναι και οι δυο μηδέν.

Οι απλοί και ξεκάθαροι ορισμοί είναι ένα πολύ ισχυρό ατού της πρότασής του. Με αυτόν τον τρόπο, ο κίνδυνος της ασάφειας μπλοκάρεται από τα θεμέλια της γεωμετρίας. Είναι πολύ σημαντικό να καταλαβαίνουμε πλήρως για τι πράγμα μιλάμε, ειδικά στις βάσεις των μαθηματικών, γιατί άμα από την αρχή εισχωρήσει η ασάφεια, μετά όλο το οικοδόμημα θα είναι προβληματικό.

Και επειδή αντί για αυθαίρετα αξιώματα έχουμε απλούς ορισμούς, βρισκόμαστε πιο κοντά στο πνεύμα της γεωμετρίας του Ευκλείδη. Ο μεγάλος αρχαίος μαθηματικός, με τα αξιώματά του, μίλησε για πράγματα που θεωρούσε αυτονόητα, τα οποία δεν έχρηζαν εξήγησης. Αντίθετα, πολλοί μοντέρνοι μαθηματικοί έκτισαν ολόκληρα οικοδομήματα στηριζόμενοι σε δικά τους αυθαίρετα αξιώματα, νομίζοντας πως έκαναν μαθηματικά με τον τρόπο του Ευκλείδη.

Αλλά εκείνος δεν είχε στον νου του, τουλάχιστον όπως φαίνεται από τα Στοιχεία, τη δημιουργία ενός τεχνητού και αυθαίρετου νοητικού οικοδομήματος, αλλά την περιγραφή μαθηματικών που έχουν άμεση σχέση με την πραγματικότητα και των οποίων οι έννοιες είναι εύκολα αντιληπτές. Ε, με τους ορισμούς του ο Wildberger αμφισβητεί ευθέως τον δρόμο που πήραν τα σύγχρονα μαθηματικά. Το πόσο πετυχημένα το κάνει, είναι κάτι που θα το αποφασίσουν οι ειδικοί. Όπως και να έχει, το ερώτημα για την φύση των μαθηματικών και τη σχέση τους με την πραγματικότητα έχει τεθεί.

Στη συνέχεια, ο Wildberger εισάγει δυο έννοιες, που θα παίξουν σημαντικό ρόλο στη γεωμετρία του. Την έννοια του quadrance και την έννοια του spread. Θυμηθείτε από την αναλυτική γεωμετρία την έννοια της απόστασης δύο σημείων Α (x, y) και B (z, w), που είναι η τετραγωνική ρίζα του (z - x)^2 + (w - y)^2. Ε, το quadrance είναι το τετράγωνο αυτής της απόστασης, δηλαδή το (z - x)^2 + (w - y)^2. Με αυτόν τον τρόπο, διώχνει τις τετραγωνικές ρίζες από από τις θεμελιώδεις έννοιες.

Έτσι, αντί για την απόσταση δίνει το προβάδισμα στο τετράγωνό της, που είναι πιο εύκολο να το χειριστεί κανείς στους υπολογισμούς.

Και αντί για την γωνία και το ημίτονο, δίνει το προβάδισμα στο spread, που αντιστοιχεί στο τετράγωνο του ημιτόνου και για δυο ευθείες < a : b : c > και < d : e: f > με a^2 + b^2 διάφορο του μηδενός και d^2 + e^2 διάφορο του μηδενός ορίζεται ως (ae - db)^2 / ((a^2+b^2)(d^2+e^2)) Με το spread έχουμε ένα εύκολο μέτρο της σχέσης δυο ευθειών, το οποίο ορίζεται και υπολογίζεται εύκολα.

Με τη βοήθεια αυτών των δυο βασικών εννοιών, χτίζει με τρόπο λογικό και σαφή την τριγωνομετρία και τη γεωμετρία.

Έχετε απορίες; Πώς σας φαίνεται σαν ιδέα;