Και εκεί που νομίζαμε ότι τα πράγματα δεν μπορούσαν να γίνουν πιο παράξενα...

Είχαμε μείνει στην μερική ανάκλαση από μία επιφάνεια. Και είχαμε δει πόσο παράξενο φαινόμενο είναι. Αλλά αν νομίζατε πως εδώ σταματάνε οι παραξενιές της φύσης, είστε γελασμένοι!

Ελάτε να δούμε κάτι ακόμα πιο παράξενο.

Ας κάνουμε πειράματα μερικής ανάκλασης παίζοντας με το πάχος του γυαλιού. Τι θα διαπιστώσουμε; Ότι το ποσοστό των φωτονίων που ανακλώνται παίζει, ότι όταν αυξάνουμε σιγά-σιγά το πάχος του γυαλιού, το ποσοστό των φωτονίων που ανακλώνται αυξάνεται σιγά-σιγά και μετά μειώνεται. Φτάνει μια μέγιστη τιμή και μετά πηγαίνει στο μηδέν. Μάλιστα, το πείραμα δείχνει ότι υπάρχει κάποια περιοδικότητα στο ποσοστό των φωτονίων που αντανακλώνται.

Για σκεφτείτε λίγο τι σημαίνει αυτό.

Είναι σαν το φωτόνιο να περιμένει να δει πού τελειώνει το γυαλί για να αποφασίσει αν θα ανακλαστεί στην αρχή του γυαλιού! Ακόμα και η ανάκλαση από την επιφάνεια του γυαλιού εξαρτάται από το πάχος του γυαλιού. Και τα φωτόνια, σα να γνωρίζουν το πάχος του γυαλιού με το που το προσεγγίζουν και αποφασίζουν αν θα ανακλαστούν ή όχι!

Μπερδευτήκατε;

Ας το πω πιο απλά.

Έχουμε ένα γυαλί. Και ρίχνουμε φως καταπάνω του. Κάποια φωτόνια ανακλώνται και κάποια περνάνε από μέσα του. Τώρα αλλάζουμε το πάχος του γυαλιού και κάνουμε μετρήσεις πειράζοντας το πάχος. Και ξαφνικά φτάνει και κάποια στιγμή που κανένα φωτόνιο δεν αντανακλάται. Δηλαδή εκείνα τα φωτόνια που πριν αντανακλούνταν με το που ακουμπούσαν το γυαλί, τώρα περνούν από μέσα του, επειδή εμείς αλλάξαμε το πάχος! Πού "ξέρει" το φωτόνιο τι πάχος θα έχει το γυαλί για να "αποφασίσει" αν θα αντανακλαστεί στην αρχή ή όχι;

Τώρα, ειλικρινά, πείτε μου, είναι ή δεν είναι μεγάλο μυστήριο η μερική ανάκλαση;

Έτσι όπως το βλέπω εγώ, η φύση είναι τρομερά γοητευτική. Ο τρόπος που συμπεριφέρεται είναι παράξενος και γεμάτος προκλήσεις για το μυαλό μας.

Έχετε δυνάμεις για να συνεχίσουμε; Γιατί θέλω να περιγράψω και άλλο ένα πείραμα.

Έχουμε το γυαλί με το φως, όπως και πριν. Και τώρα βάζουμε και άλλο ένα γυαλί μετά. Και άλλο ένα μετά. Και παίζουμε βάζοντας κομμάτια γυαλί το ένα μετά το άλλο και παρατηρώντας τι γίνεται με την ανάκλαση.

Ε, αυτό που βλέπουμε είναι πως ο αριθμός των φωτονίων που αντανακλώνται κάθε φορά "παίζει", ανάλογα με το πόσα κομμάτια γυαλί έχουμε τοποθετήσει το ένα μετά το άλλο!

Δηλαδή, για να "αποφασίσει" αν θα αντανακλαστεί ένα φωτόνιο από το πρώτο γυαλί, "βλέπει" πόσα κομμάτια έχουμε βάλει μετά!

Αν δεν έχω καταφέρει τώρα να σας βάλω μέσα στο κλίμα σασπένς που δημιουργεί η φύση στη μοντέρνα φυσική, δεν πρόκειται να τα καταφέρω ποτέ!

Αρειανοί!

Ένα συναρπαστικό φαινόμενο!

Στον πυρήνα της πρώτης διάλεξης βρίσκεται ένα φαινόμενο που πραγματικά με έχει συναρπάσει, αυτό της μερικής ανάκλασης.

Θα μου πείτε, μα με οπτική θα ασχοληθούμε; Δεν τα έχουμε διδαχτεί αυτά στο λύκειο και ήταν απλά και κατανοητά; Α, δεν έχετε καθόλου δίκιο. Τα φαινόμενα αυτά είναι εξαιρετικά γοητευτικά και η κατανόησή τους σε βάθος είναι πολύ δύσκολη και συναρπαστική. Θα σας εξηγήσω αμέσως τι εννοώ.

Τι είναι η μερική ανάκλαση; Φαντάσου το φως να πέφτει πάνω σε ένα κομμάτι γυαλί, ή σε λίγο νερό. Ένα μέρος του φωτός θα περάσει μέσα από το γυαλί ή το υγρό, ενώ ένα μέρος θα γυρίσει πίσω με την ανάκλαση. Μέχρι εδώ, ακούγεται απλό και βαρετό. Τι είναι αυτό που κάνει τούτο το φαινόμενο τόσο συναρπαστικό;

Αυτό που με γοητεύει εμένα στη μερική ανάκλαση είναι πως κάποιο φωτόνιο αντανακλάται, ενώ κάποιο άλλο όχι. Τι είναι εκείνο δηλαδή που καθορίζει αν ένα φωτόνιο θα περάσει μέσα από το γυαλί ή αν θα ανακλαστεί; Πώς γίνεται από ένα σωρό ολόιδια φωτόνια, με τις ίδιες συνθήκες, στο ίδιο πείραμα, κάποια να έχουν μια πορεία Α ενώ κάποια άλλα να έχουν μια άλλη πορεία Β;

Αυτό το πολύ απλό φαινόμενο μας φέρνει μπροστά σε μια παραξενιά της φύσης που δεν έχει προηγούμενο. Και αυτή η παραξενιά κάνει τα φαινόμενα της οπτικής εξαιρετικά γοητευτικά. Νομίζω πως τώρα θα έχετε ενθουσιαστεί και εσείς όπως και εγώ!

Τώρα αισθάνομαι κάπως άσχημα. Σας ενθουσίασα, αλλά πρέπει να σας δώσω μια απογοήτευση. Η μοντέρνα φυσική δεν εξηγεί γιατί ένα φωτόνιο θα ανακλαστεί ενώ ένα άλλο ολόιδιο φωτόνιο δε θα ανακλαστεί. Αυτό που κάνει είναι να υπολογίσει τις πιθανότητες που έχει ένα φωτόνιο να ανακλαστεί και να περιγράψει το φαινόμενο με όρους πιθανοτήτων. Και το κάνει αυτό με επιτυχία.

Από τη μία, έχουμε μια θεωρία που περιγράφει τα φαινόμενα με ακρίβεια και κάνει τους υπολογισμούς δυνατούς. Από την άλλη, έχουμε να πληρώσουμε ένα κόστος για αυτή τη θεωρία, και το κόστος είναι ότι δε γνωρίζουμε τι είναι αυτό που καθορίζει πώς θα συμπεριφερθεί το φωτόνιο, και δε γνωρίζουμε καν αν υπάρχει κάτι που να καθορίζει αυτή τη συμπεριφορά, αν η ερώτηση για τον μηχανισμό της φύσης πίσω από τα φωτόνια έχει νόημα.

Λοιπόν, ας κρατήσουμε τον ενθουσιασμό που μας δημιουργούν τα φαινόμενα, και ας δεχτούμε τον περιορισμό της μοντέρνας φυσικής (που μπορεί και να μην είναι περιορισμός στην περίπτωση που η φύση απλά λειτουργεί έτσι χωρίς να υπάρχει βαθύτερος μηχανισμός) και ας ακολουθήσουμε την πορεία των ιδεών στη φυσική.

(Στην φωτογραφία, στην αρχή του post, βλέπουμε στην πράξη την μερική ανάκλαση του φωτός. Όταν είμαστε έξω από το νερό βλέπουμε το φεγγάρι να καθρεφτίζεται στο νερό επειδή ένα μέρος από το φως έχει ανακλαστεί, ενώ αν μπούμε μέσα στο νερό θα δούμε πάλι το φεγγάρι, επειδή ένα μέρος από το φως έχει περάσει μέσα στο νερό χωρίς να ανακλαστεί.)

Υ.Γ. Αν κάτι από αυτά που λέω δεν είναι σαφές, παρακαλώ να μου το πείτε για να το ξεκαθαρίσουμε τελείως! Στόχος μου είναι η σαφήνεια. Θέλω όλα να τα εξηγούμε όσο πιο καθαρά γίνεται! Μόνο αν τα κάνουμε τελείως νια-νια θα μπορέσουμε να αφομοιώσουμε αυτές τις δύσκολες έννοιες και να καταλάβουμε τι μας λέει η επιστήμη. Στόχος μας είναι η κατανόηση και ο προβληματισμός, όχι η... παπαγαλία! Γι'αυτό άλλωστε και εγώ δεν αντιγράφω από το βιβλίο αλλά τα λέω με δικά μου λόγια!

Κβαντική Ηλεκτροδυναμική

Τι είναι η κβαντική ηλεκτροδυναμική; Είναι το κομμάτι εκείνο της μοντέρνας φυσικής που ασχολείται με τις αλληλεπιδράσεις του φωτός και των ηλεκτρονίων. Όπως θα καταλάβετε από τα άρθρα που θα ακολουθήσουν πρόκειται για ένα τρομερά σημαντικό ζήτημα που έχει πολλές σαγηνευτικές πτυχές.

Η κουβέντα μας θα γίνει με αφορμή το βιβλίο του Richard Feynman "Κβαντική Ηλεκτροδυναμική - Η παράξενη θεωρία του φωτός και της ύλης", ένα βιβλίο που περιλαμβάνει τέσσερις διαλέξεις που έδωσε ο νομπελίστας φυσικός σε ένα ευρύ κοινό στο UCLA. Για τις ανάγκες του blog, θα το ξαναδιαβάσω και θα ξαναδώ τις σημειώσεις μου, ώστε να είμαι σίγουρος ότι έχω καταλάβει καλά αυτά που γράφει, για να μπορέσω να γράψω με σαφήνεια στο blog.

Θα μου πείτε, αφού το βιβλίο είναι του Feynman, γιατί μας βάζεις φωτογραφία του Bohr; Ξεκινώ με τον Bohr, γιατί το βιβλίο είναι ένα εξαιρετικό παράδειγμα της φιλοσοφίας του Bohr, της άποψης δηλαδή εκείνης στην μοντέρνα φυσική που λέει ότι η κβαντομηχανική δεν ασχολείται με το γιατί λειτουργεί έτσι η φύση, ή με το τι σημαίνουν όλα αυτά τα δεδομένα που προκύπτουν από τα πειράματα, αλλά με το τι συμβαίνει και με το πώς μπορούμε να κάνουμε υπολογισμούς.

Ας το πω πιο απλά: Η σύγχρονη φυσική έχει βρει ότι η φύση συμπεριφέρεται εξαιρετικά παράξενα στο υποατομικό επίπεδο. Τα πειράματα δείχνουν πράγματα που οι παλιές θεωρίες δεν μπορούσανε να ερμηνεύσουν και έτσι δημιουργήθηκε μια νέα θεωρία, η οποία ναι μεν περιγράφει αυτά που μας δίνουν τα πειράματα, αλλά δεν εξηγεί γιατί συμβαίνει αυτό, δε μας δίνει εξήγηση για τη βαθύτερη φύση των αντικειμένων με τα οποία ασχολείται, για τα φωτόνια και τα ηλεκτρόνια.

Αυτό θα το καταλάβετε καλύτερα όταν θα προχωρήσουμε και θα δούμε και παραδείγματα.

Ο Niels Bohr βοήθησε να ξεκολλήσει η σύγχρονη φυσική από τα φιλοσοφικά προβλήματα που δημιουργούσαν τα αποτελέσματα των πειραμάτων. Έτσι έγιναν φοβερά άλματα σχετικά με την περιγραφή του κόσμου και του τι συμβαίνει στην φύση, με κόστος ότι δεν έχουμε εξήγηση γιατί συμβαίνει αυτό που συμβαίνει.

Είναι γνωστή η αντίθεση του Einstein με τη στάση του Bohr. Ο Einstein είχε διαφορετικές φιλοσοφικές προϋποθέσεις και δεν μπορούσε να συμβιβαστεί με αυτή την αντίληψη για τη φυσική. Τα χρόνια όμως που ακολούθησαν η φυσική προχώρησε πάνω στις γραμμές που έθεσε ο Bohr και αυτό το βιβλίο κινείται απόλυτα μέσα στα πλαίσια των αντιλήψεων για την κβαντική φυσική που αυτός εξέφρασε.



Υ.Γ. Υπάρχει και άλλος ένας λόγος για τον οποίο ξεκινώ με φωτογραφία του Bohr αντί του Feynman. Για να τη σπάσω στον Feynman που φρόντιζε πολύ προσεκτικά για την εικόνα του, δημιουργώντας έναν μύθο γύρω από το πρόσωπό του.

Mr. Feynman, :P

Rational Trigonometry: Από τη σκοπιά του μη ειδικού

Θα επιχειρήσω να εξηγήσω κάποιες βασικές αρχές από την πρόταση του Wildberger για την τριγωνομετρία και τη γεωμετρία. Αυτά που θα πω είναι από τη σκοπιά του μη ειδικού, οπότε ζητάω συγγνώμη αν έχω καταλάβει λάθος αυτά που λέει ο καθηγητής στο έργο του.

Καταρχάς οι νόμοι της γεωμετρίας του Wildberger μπορούν να αποδειχτούν χρησιμοποιώντας μόνο άλγεβρα και αριθμητική. Ανάλυση, σε αντίθεση με την κλασσική τριγωνομετρία, δε χρειάζεται. Οι υπολογισμοί είναι πολύ εύκολοι και δε χρειάζονται πίνακες με τριγωνομετρικούς αριθμούς ή υπολογιστές.

Πώς το καταφέρνει αυτό; Χρησιμοποιώντας μεθόδους αναλυτικής γεωμετρίας, με έναν διαφορετικό τρόπο. Θα εξηγήσω αμέσως πόσο διαφορετικός είναι αυτός ο τρόπος, αλλά πρώτα θέλω να γίνει σαφές ότι μιλάμε για άλγεβρα και αριθμητική, για συντεταγμένες και εξισώσεις και αναλογίες.

Ας δούμε τώρα τις διαφορές με αυτά που ξέραμε μέχρι τώρα. Καταρχάς, αντί για αξιώματα, έχει ξεκάθαρους ορισμούς. Για παράδειγμα, ως σημείο ορίζεται ένα διατεταγμένο ζεύγος αριθμών και ως ευθεία ορίζεται μια αναλογία τριών αριθμών < a : b : c > με a και b να μην είναι και οι δυο μηδέν.

Οι απλοί και ξεκάθαροι ορισμοί είναι ένα πολύ ισχυρό ατού της πρότασής του. Με αυτόν τον τρόπο, ο κίνδυνος της ασάφειας μπλοκάρεται από τα θεμέλια της γεωμετρίας. Είναι πολύ σημαντικό να καταλαβαίνουμε πλήρως για τι πράγμα μιλάμε, ειδικά στις βάσεις των μαθηματικών, γιατί άμα από την αρχή εισχωρήσει η ασάφεια, μετά όλο το οικοδόμημα θα είναι προβληματικό.

Και επειδή αντί για αυθαίρετα αξιώματα έχουμε απλούς ορισμούς, βρισκόμαστε πιο κοντά στο πνεύμα της γεωμετρίας του Ευκλείδη. Ο μεγάλος αρχαίος μαθηματικός, με τα αξιώματά του, μίλησε για πράγματα που θεωρούσε αυτονόητα, τα οποία δεν έχρηζαν εξήγησης. Αντίθετα, πολλοί μοντέρνοι μαθηματικοί έκτισαν ολόκληρα οικοδομήματα στηριζόμενοι σε δικά τους αυθαίρετα αξιώματα, νομίζοντας πως έκαναν μαθηματικά με τον τρόπο του Ευκλείδη.

Αλλά εκείνος δεν είχε στον νου του, τουλάχιστον όπως φαίνεται από τα Στοιχεία, τη δημιουργία ενός τεχνητού και αυθαίρετου νοητικού οικοδομήματος, αλλά την περιγραφή μαθηματικών που έχουν άμεση σχέση με την πραγματικότητα και των οποίων οι έννοιες είναι εύκολα αντιληπτές. Ε, με τους ορισμούς του ο Wildberger αμφισβητεί ευθέως τον δρόμο που πήραν τα σύγχρονα μαθηματικά. Το πόσο πετυχημένα το κάνει, είναι κάτι που θα το αποφασίσουν οι ειδικοί. Όπως και να έχει, το ερώτημα για την φύση των μαθηματικών και τη σχέση τους με την πραγματικότητα έχει τεθεί.

Στη συνέχεια, ο Wildberger εισάγει δυο έννοιες, που θα παίξουν σημαντικό ρόλο στη γεωμετρία του. Την έννοια του quadrance και την έννοια του spread. Θυμηθείτε από την αναλυτική γεωμετρία την έννοια της απόστασης δύο σημείων Α (x, y) και B (z, w), που είναι η τετραγωνική ρίζα του (z - x)^2 + (w - y)^2. Ε, το quadrance είναι το τετράγωνο αυτής της απόστασης, δηλαδή το (z - x)^2 + (w - y)^2. Με αυτόν τον τρόπο, διώχνει τις τετραγωνικές ρίζες από από τις θεμελιώδεις έννοιες.

Έτσι, αντί για την απόσταση δίνει το προβάδισμα στο τετράγωνό της, που είναι πιο εύκολο να το χειριστεί κανείς στους υπολογισμούς.

Και αντί για την γωνία και το ημίτονο, δίνει το προβάδισμα στο spread, που αντιστοιχεί στο τετράγωνο του ημιτόνου και για δυο ευθείες < a : b : c > και < d : e: f > με a^2 + b^2 διάφορο του μηδενός και d^2 + e^2 διάφορο του μηδενός ορίζεται ως (ae - db)^2 / ((a^2+b^2)(d^2+e^2)) Με το spread έχουμε ένα εύκολο μέτρο της σχέσης δυο ευθειών, το οποίο ορίζεται και υπολογίζεται εύκολα.

Με τη βοήθεια αυτών των δυο βασικών εννοιών, χτίζει με τρόπο λογικό και σαφή την τριγωνομετρία και τη γεωμετρία.

Έχετε απορίες; Πώς σας φαίνεται σαν ιδέα;

The final frontier!

Πάντα μου κάνει εντύπωση ο ηθικός προβληματισμός του Hollywood για το τι σημαίνει να είσαι άνθρωπος, για το μέλλον της ανθρωπότητας και για το νόημα της ζωής. Ο σύγχρονος αμερικανικός πολιτισμός προβληματίζεται πολύ έντονα με αυτά τα ζητήματα και αυτό φαίνεται παραστατικά στις ταινίες.

Έβλεπα το Star Trek: First Contact, μια ταινία του 1996, και σε κάποιο σημείο ο κυβερνήτης του Enterprise Jean-Luc Picard προσπαθεί να εξηγήσει σε μια κάτοικο της Γης από τον 21ο αιώνα πως λειτουργεί η κοινωνία τον 24ο αιώνα: "Money doesn't exist in the 24th century. The acquisition of wealth is no longer the driving force in our lives. We work to better ourselves, and the rest of humanity."

Ανεξάρτητα από το πόσο εφικτή είναι μια οικονομία χωρίς χρήμα και το πόσο ρεαλιστικό είναι να είμαστε τόσο αισιόδοξοι για την ηθική πρόοδο της ανθρωπότητας, αυτό που είπε ο Picard έχει μια πολύ σημαντική διάσταση για τη ζωή μας τώρα.

Πράγματι, το επάγγελμά μας μας δίνει ευκαιρίες για την βελτίωση του εαυτού μας, ευκαιρίες που αν τις εκμεταλλευτούμε σωστά, θα αντιμετωπίζουμε τη δουλειά μας με έναν θετικό τρόπο και θα κερδίσουμε κάτι πολύ σημαντικό από αυτήν.

Τι σημαίνει όμως το να κάνουμε τους εαυτούς μας καλύτερους; Το καλό είναι πολύ γενικό. Τι περιεχόμενο να του δώσουμε; Το σκεφτόμουν χθες το βράδυ και αναρωτιέμαι αν μπορούμε να συνδέσουμε τη βελτίωση του εαυτού μας με τις ατέλειές μας. Όλοι έχουμε ατέλειες. Είναι κάτι πολύ χειροπιαστό, σε αντίθεση με μια γενική ιδέα βελτίωσης. Αν λοιπόν μέσα από το επάγγελμά μας δουλέψουμε τις ατέλειές μας και τις βελτιώσουμε, τότε έχουμε πετύχει να βελτιώσουμε τον εαυτό μας.

Στο Star Trek: Nemesis, στο τέλος, που ο Picard μιλάει με τον B-4 για τον Data, που είχε θέσει σαν στόχο να γίνει κάτι περισσότερο από αυτό που ήταν, του λέει πως στην προσπάθειά του να γίνει περισσότερο σαν τους ανθρώπους, τους βοήθησε να δουν καλύτερα τι σημαίνει να είσαι άνθρωπος. Αγκάλιασε την αλλαγή, γιατί ήθελε πάντα να γίνεται καλύτερος. Η περιέργειά του για κάθε όψη της ανθρώπινης φύσης βοήθησε τους φίλους του να δουν τις καλύτερες πτυχές του εαυτού τους.

Αυτή η όρεξη για βελτίωση είναι διάχυτη στις ταινίες Star Trek. Νομίζω πως όλοι θα μπορούσαμε να κερδίσουμε από αυτή την ιδέα αν βλέπουμε την εργασία μας υπό αυτή την προοπτική. Δε θα γίνουμε τέλειοι, αλλά η προσπάθεια για βελτίωση του εαυτού μας είναι ένας ευγενής στόχος και έστω και κάτι μικρό να καταφέρουμε θα αξίζει τον κόπο.

Αυτά για τώρα. Μέχρι το επόμενο post… Live long and prosper!

Ας παίξουμε με τρίγωνα!

Συνήθως, όταν αγοράζω ένα βιβλίο δεν μπορώ να ησυχάσω αν δεν το τελειώσω όσο το δυνατόν γρηγορότερα. Τις πιο πολλές φορές, το όσο το δυνατόν γρηγορότερα μεταφράζεται σε μια - δυο μέρες. Υπάρχουν όμως και μερικά βιβλία που έχω αφήσει στη μέση. Μετρώνται στα δάχτυλα του ενός χεριού, όμως υπάρχουν.

Αποφάσισα να ασχοληθώ με ένα τέτοιο βιβλίο σε αυτό το post και να μεταφέρω σκέψεις και προβληματισμούς που μου γεννάει η ανάγνωσή του. Πρόκειται για το Divine Proportions, ένα έργο μαθηματικών του NJ Wildberger, με υπότιτλο Rational Trigonometry to Universal Geometry.

Ο τίτλος μας παραπέμπει στους αρχαίους Έλληνες, και συγκεκριμένα στους Πυθαγόρειους, οι οποίοι αναζητούσαν στους αριθμούς και τις αναλογίες των ακεραίων τη λύση στα μυστήρια του σύμπαντος. Με βάση τις πεποιθήσεις τους ανέπτυξαν τη φιλοσοφία, τα μαθηματικά αλλά και τη μουσική. Οι αναλογίες των Πυθαγορείων κατέχουν σημαντική θέση στην μουσική θεωρία.

Αυτό που απασχολεί τον συγγραφέα είναι η βάση της τριγωνομετρίας και ο τρόπος που θεμελιώνεται. Θεωρεί πως η παραδοσιακή παρουσίαση της τριγωνομετρίας βασίζεται σε έννοιες που δεν είναι αρκετά στοιχειώδεις, με αποτέλεσμα το αντικείμενο να γίνεται δύσκολο χωρίς να υπάρχει καλός λόγος για αυτή την εξτρά δυσκολία.

Πάρτε για παράδειγμα το ημίτονο. Σε μια οξεία γωνία μπορούμε εύκολα να το ορίσουμε. Αν δούμε όμως την έννοια του ημιτόνου αφηρημένα και γενικά, για να το ορίσουμε χρειαζόμαστε τον τριγωνομετρικό κύκλο, και μετά, για να το υπολογίσουμε χρειαζόμαστε μαθηματικά που κάθε άλλο παρά στοιχειώδη είναι! Γιατί να εισάγουμε τον κύκλο στη μελέτη των τριγώνων; Είναι πραγματικά απαραίτητο; Ή μήπως υπάρχει πιο απλός τρόπος να κάνουμε τριγωνομετρία;

Για την Ευκλείδεια Γεωμετρία τα προβλήματα λύνονται με την χρήση της λογικής, του κανόνα (χάρακα που δεν είναι βαθμολογημένος) και του διαβήτη. Δηλαδή ο κύκλος θεωρείται πρωταρχικό σχήμα. Αυτή την Ευκλείδεια κληρονομιά αμφισβητεί ο συγγραφέας του βιβλίου, διώχνοντας τους κύκλους, τα ημίτονα και τις γωνίες από τη βάση της τριγωνομετρίας.

Σε γενικές γραμμές ακούγεται γοητευτική ιδέα. Μια βάση για την τριγωνομετρία που είναι πραγματικά στοιχειώδης. Τα αποτελέσματα δεν αλλάζουνε. Η νέα τριγωνομετρία δίνει τα ίδια αποτελέσματα με την παλιά, με έναν εντελώς διαφορετικό τρόπο όμως.

Το αν αυτός ο τρόπος είναι πιο αποτελεσματικός, το αν τα προβλήματα λύνονται πιο εύκολα, αν νέες ιδιότητες μπορούν να ανακαλυφθούν ευκολότερα, αν η διδασκαλία γίνεται πιο απλή με τη χρήση αυτού του τρόπου, αυτό είναι κάτι που μπορούν να απαντήσουν οι ειδικοί και όχι εγώ σε αυτό το blog.

Αυτό που μπορώ εγώ να κάνω είναι να ακολουθήσω - όσο μπορώ - το συναρπαστικό ταξίδι που στον κόσμο των ιδεών προτείνει ο συγγραφέας και να στρέψω την προσοχή μου σε διάφορα θέματα που θα ανακύψουν. Αν θέλετε να με ακολουθήσετε, ετοιμαστείτε να παίξουμε με τρίγωνα!

Παιδός η βασιληίη!

Καλώς ήρθατε στο καινούριο μου blog! Εδώ θα καταγράφω ορισμένους προβληματισμούς και σκέψεις με αφορμή τη μελέτη διάφορων κειμένων και ιδεών!

Η διεύθυνση του blog βγαίνει από ένα ρητό του Ηράκλειτου. Ο Σκοτεινός Φιλόσοφος παρομοίασε τον χρόνο με ένα παιδί που παίζει. Ωραία αντίληψη για να αντιμετωπίζεις τη ζωή! Πολύ χαριτωμένα, αλλά και χωρίς να νοιάζεται και πολύ ή να δείχνει σοφία στις αποφάσεις του, ένα παιδί παίζει ένα παιχνίδι, ρίχνει ζάρια, κουνάει πούλια. Σε αυτό το παιδί ανήκει το βασίλειο του κόσμου, η βασιλεία της ζωής!

Δεν μπορείς να ζητήσεις ευθύνες από ένα παιδί, ούτε να βασιστείς στη σοφία και την πρόνοιά του. Δεν έχει νόημα να ρωτάς "γιατί" έκανε μία κίνηση και όχι μία άλλη. Δεν έχει νόημα να πιστεύεις πως πίσω από το παιχνίδι των ζαριών και τις κινήσεις του παιδιού κρύβεται ένα ολοκληρωμένο σχέδιο για τη ζωή κάθε ανθρώπου. Αυτό που έχει νόημα, είναι να απολαμβάνεις τη χάρη του παιχνιδιού όσο αυτό διαρκεί.

Καλή μας αρχή, λοιπόν, και περιμένω και τις δικές σας προσεγγίσεις!