Σκέψη

Έχει γοητεύσει τη φαντασία μου ένα περιστατικό από τη ζωή του αρχαίου σκεπτικιστή φιλοσόφου Καρνεάδη. Ο φιλόσοφος, μαζί με δυο άλλους σοφούς πηγαίνει στη Ρώμη ως πρεσβευτής από την Αθήνα, για να μεσολαβήσει ώστε να μικρύνει το πρόστιμο που είχε επιβληθεί από τους Ρωμαίους στους Αθηναίους για την καταστροφή του Ωρωπού.

Ενώ βρίσκεται στη Ρώμη κερδίζει τα πλήθη με τις ομιλίες του. Μορφωμένοι και σοφοί παρακολουθούν τα επιχειρήματά του με ενδιαφέρον και πείθονται από την κεφαλή της Ακαδημίας που είχε ιδρύσει ο Πλάτωνας. Στην κορύφωση των πνευματικών εκδηλώσεων, ο Καρνεάδης δίνει δυο ομιλίες για τη ρωμαϊκή αρετή της δικαιοσύνης. Στην πρώτη ομιλία, ο μέγας φιλόσοφος ενθουσιάζει τα πλήθη με τα επιχειρήματά του υπέρ της δικαιοσύνης. Την επόμενη μέρα ανασκευάζει όλα τα προηγούμενα επιχειρήματα και αποδεικνύει πως η έννοια της δικαιοσύνης είναι προβληματική και πως τελικά πρόκειται για μια σύμβαση που έχει κριθεί απαραίτητη για μια καλά οργανωμένη κοινωνία.

Η δύναμη των επιχειρημάτων του έχει συνεπάρει το ακροατήριο. Χωριστά από τον κόσμο που θαυμάζει τις λογικές σκέψεις του Καρνεάδη στέκεται ο Κάτωνας, ο οποίος έχει τρομάξει από τις συνέπειες που έχουν τα επιχειρήματα του Έλληνα φιλοσόφου. Αν ο κόσμος ακολουθήσει τη σκέψη του Καρνεάδη, ο Ρωμαϊκός τρόπος ζωής και τα επιτεύγματα του Ρωμαϊκού πολιτισμού θα χάσουν τη στέρεα βάση τους. Αμέσως, και φοβούμενος τις κοινωνικές επιπτώσεις της σκέψης του Καρνεάδη, πείθει τη Ρωμαϊκή Σύγκλητο να διώξουν τους Έλληνες πίσω στην Αθήνα. Η Ρώμη δεν μπορεί να χωρέσει τη Σκέψη των Σκεπτικών.

Γυμνοσοφιστές

Μετά από καιρό απουσίας, επανέρχομαι με μια ωραία ιστορία.

Την αναφέρει ο Πλούταρχος, σχετικά με μια συνάντηση που είχε ο Μέγας Αλέξανδρος με έντεκα γιόγκι όταν είχε φτάσει στην Ινδία. Αυτοί προέτρεπαν σε αντίσταση εναντίον των Ελλήνων και ο Αλέξανδρος έβαλε να τους συλλάβουν. Επειδή όμως αγαπούσε τις έξυπνες συζητήσεις τους είπε πως θα τους έκανε από μία ερώτηση και θα τους εκτελούσε με τη σειρά, ξεκινώντας από αυτόν που θα έδινε την πρώτη λανθασμένη απάντηση και μετά με τη σειρά ανάλογα με την ποιότητα των απαντήσεών τους. Για κριτή όρισε τον γηραιότερο.

Ρωτάει λοιπόν τον πρώτο:

Ποιοι είναι περισσότεροι, οι ζωντανοί ή οι νεκροί;

Και αυτός του απαντάει:

Οι ζωντανοί, γιατί οι νεκροί δεν υπάρχουνε.

Πάει στον δεύτερο:

Η γη ή η θάλασσα δίνει πιο μεγάλα ζώα;

Η Γη, απαντάει αυτός, γιατί η θάλασσα είναι τμήμα της Γης.

Τον τρίτο τον ρωτάει: Ποιο ζώο είναι το πιο πονηρό;

Αυτό που ο άνθρωπος δεν έχει ανακαλύψει ακόμα, του αποκρίνεται αυτός.

Γιατί είπατε στον βασιλιά να ξεσηκωθεί εναντίον του στρατού μου;

Διότι θέλω να ζει όπως αρμόζει σε ευγενή ή να πεθάνει όπως αρμόζει σε ευγενή.

Η μέρα ή η νύχτα είναι πιο μεγάλη σε ηλικία;

Η μέρα, κατά μία μέρα. Και όταν ο βασιλιάς απόρησε με την απάντηση, ο γιόγκι απάντησε: Παράξενες ερωτήσεις παίρνουν παράξενες απαντήσεις!

Πώς μπορεί κάποιος να γίνει πολύ αγαπητός;

Με το να είναι πολύ ισχυρός, αλλά να μην προκαλεί τον φόβο.

Πώς μπορεί κάποιος να γίνει θεός;

Κάνοντας κάτι που δεν μπορεί να κάνει άνθρωπος.

Η ζωή ή ο θάνατος είναι ισχυρότερος;

Η ζωή, γιατί μπορεί να φέρει ένα σωρό κακά.

Και η τελευταία ερώτηση:

Μέχρι πόσο είναι καλό να ζει ένας άνθρωπος;

Μέχρι να γίνει ο θάνατος πιο επιθυμητός από τη ζωή.

"Πες μας την απόφασή σου", λέει ο Αλέξανδρος στον γέρο που είχε ορίσει κριτή.

"Ο ένας απάντησε χειρότερα από τον άλλο".

"Τότε θα πεθάνεις εσύ πρώτος."

"Αδύνατο, ω Βασιλιά! Εκτός και αν είπες ψέματα, όταν μας διαβεβαίωσες πως πρώτος θα πεθάνει αυτός που θα δώσει την πρώτη λανθασμένη απάντηση."

Και ο Αλέξανδρος τους άφησε όλους ελεύθερους και τους έδωσε δώρα.

Παράξενοι σοφοί, δε βρίσκετε;

Αλλά ακόμα πιο παράξενη η σοφία, όπως θα δούμε σε επόμενο post!

Και εκεί που νομίζαμε ότι τα πράγματα δεν μπορούσαν να γίνουν πιο παράξενα...

Είχαμε μείνει στην μερική ανάκλαση από μία επιφάνεια. Και είχαμε δει πόσο παράξενο φαινόμενο είναι. Αλλά αν νομίζατε πως εδώ σταματάνε οι παραξενιές της φύσης, είστε γελασμένοι!

Ελάτε να δούμε κάτι ακόμα πιο παράξενο.

Ας κάνουμε πειράματα μερικής ανάκλασης παίζοντας με το πάχος του γυαλιού. Τι θα διαπιστώσουμε; Ότι το ποσοστό των φωτονίων που ανακλώνται παίζει, ότι όταν αυξάνουμε σιγά-σιγά το πάχος του γυαλιού, το ποσοστό των φωτονίων που ανακλώνται αυξάνεται σιγά-σιγά και μετά μειώνεται. Φτάνει μια μέγιστη τιμή και μετά πηγαίνει στο μηδέν. Μάλιστα, το πείραμα δείχνει ότι υπάρχει κάποια περιοδικότητα στο ποσοστό των φωτονίων που αντανακλώνται.

Για σκεφτείτε λίγο τι σημαίνει αυτό.

Είναι σαν το φωτόνιο να περιμένει να δει πού τελειώνει το γυαλί για να αποφασίσει αν θα ανακλαστεί στην αρχή του γυαλιού! Ακόμα και η ανάκλαση από την επιφάνεια του γυαλιού εξαρτάται από το πάχος του γυαλιού. Και τα φωτόνια, σα να γνωρίζουν το πάχος του γυαλιού με το που το προσεγγίζουν και αποφασίζουν αν θα ανακλαστούν ή όχι!

Μπερδευτήκατε;

Ας το πω πιο απλά.

Έχουμε ένα γυαλί. Και ρίχνουμε φως καταπάνω του. Κάποια φωτόνια ανακλώνται και κάποια περνάνε από μέσα του. Τώρα αλλάζουμε το πάχος του γυαλιού και κάνουμε μετρήσεις πειράζοντας το πάχος. Και ξαφνικά φτάνει και κάποια στιγμή που κανένα φωτόνιο δεν αντανακλάται. Δηλαδή εκείνα τα φωτόνια που πριν αντανακλούνταν με το που ακουμπούσαν το γυαλί, τώρα περνούν από μέσα του, επειδή εμείς αλλάξαμε το πάχος! Πού "ξέρει" το φωτόνιο τι πάχος θα έχει το γυαλί για να "αποφασίσει" αν θα αντανακλαστεί στην αρχή ή όχι;

Τώρα, ειλικρινά, πείτε μου, είναι ή δεν είναι μεγάλο μυστήριο η μερική ανάκλαση;

Έτσι όπως το βλέπω εγώ, η φύση είναι τρομερά γοητευτική. Ο τρόπος που συμπεριφέρεται είναι παράξενος και γεμάτος προκλήσεις για το μυαλό μας.

Έχετε δυνάμεις για να συνεχίσουμε; Γιατί θέλω να περιγράψω και άλλο ένα πείραμα.

Έχουμε το γυαλί με το φως, όπως και πριν. Και τώρα βάζουμε και άλλο ένα γυαλί μετά. Και άλλο ένα μετά. Και παίζουμε βάζοντας κομμάτια γυαλί το ένα μετά το άλλο και παρατηρώντας τι γίνεται με την ανάκλαση.

Ε, αυτό που βλέπουμε είναι πως ο αριθμός των φωτονίων που αντανακλώνται κάθε φορά "παίζει", ανάλογα με το πόσα κομμάτια γυαλί έχουμε τοποθετήσει το ένα μετά το άλλο!

Δηλαδή, για να "αποφασίσει" αν θα αντανακλαστεί ένα φωτόνιο από το πρώτο γυαλί, "βλέπει" πόσα κομμάτια έχουμε βάλει μετά!

Αν δεν έχω καταφέρει τώρα να σας βάλω μέσα στο κλίμα σασπένς που δημιουργεί η φύση στη μοντέρνα φυσική, δεν πρόκειται να τα καταφέρω ποτέ!

Αρειανοί!

Ένα συναρπαστικό φαινόμενο!

Στον πυρήνα της πρώτης διάλεξης βρίσκεται ένα φαινόμενο που πραγματικά με έχει συναρπάσει, αυτό της μερικής ανάκλασης.

Θα μου πείτε, μα με οπτική θα ασχοληθούμε; Δεν τα έχουμε διδαχτεί αυτά στο λύκειο και ήταν απλά και κατανοητά; Α, δεν έχετε καθόλου δίκιο. Τα φαινόμενα αυτά είναι εξαιρετικά γοητευτικά και η κατανόησή τους σε βάθος είναι πολύ δύσκολη και συναρπαστική. Θα σας εξηγήσω αμέσως τι εννοώ.

Τι είναι η μερική ανάκλαση; Φαντάσου το φως να πέφτει πάνω σε ένα κομμάτι γυαλί, ή σε λίγο νερό. Ένα μέρος του φωτός θα περάσει μέσα από το γυαλί ή το υγρό, ενώ ένα μέρος θα γυρίσει πίσω με την ανάκλαση. Μέχρι εδώ, ακούγεται απλό και βαρετό. Τι είναι αυτό που κάνει τούτο το φαινόμενο τόσο συναρπαστικό;

Αυτό που με γοητεύει εμένα στη μερική ανάκλαση είναι πως κάποιο φωτόνιο αντανακλάται, ενώ κάποιο άλλο όχι. Τι είναι εκείνο δηλαδή που καθορίζει αν ένα φωτόνιο θα περάσει μέσα από το γυαλί ή αν θα ανακλαστεί; Πώς γίνεται από ένα σωρό ολόιδια φωτόνια, με τις ίδιες συνθήκες, στο ίδιο πείραμα, κάποια να έχουν μια πορεία Α ενώ κάποια άλλα να έχουν μια άλλη πορεία Β;

Αυτό το πολύ απλό φαινόμενο μας φέρνει μπροστά σε μια παραξενιά της φύσης που δεν έχει προηγούμενο. Και αυτή η παραξενιά κάνει τα φαινόμενα της οπτικής εξαιρετικά γοητευτικά. Νομίζω πως τώρα θα έχετε ενθουσιαστεί και εσείς όπως και εγώ!

Τώρα αισθάνομαι κάπως άσχημα. Σας ενθουσίασα, αλλά πρέπει να σας δώσω μια απογοήτευση. Η μοντέρνα φυσική δεν εξηγεί γιατί ένα φωτόνιο θα ανακλαστεί ενώ ένα άλλο ολόιδιο φωτόνιο δε θα ανακλαστεί. Αυτό που κάνει είναι να υπολογίσει τις πιθανότητες που έχει ένα φωτόνιο να ανακλαστεί και να περιγράψει το φαινόμενο με όρους πιθανοτήτων. Και το κάνει αυτό με επιτυχία.

Από τη μία, έχουμε μια θεωρία που περιγράφει τα φαινόμενα με ακρίβεια και κάνει τους υπολογισμούς δυνατούς. Από την άλλη, έχουμε να πληρώσουμε ένα κόστος για αυτή τη θεωρία, και το κόστος είναι ότι δε γνωρίζουμε τι είναι αυτό που καθορίζει πώς θα συμπεριφερθεί το φωτόνιο, και δε γνωρίζουμε καν αν υπάρχει κάτι που να καθορίζει αυτή τη συμπεριφορά, αν η ερώτηση για τον μηχανισμό της φύσης πίσω από τα φωτόνια έχει νόημα.

Λοιπόν, ας κρατήσουμε τον ενθουσιασμό που μας δημιουργούν τα φαινόμενα, και ας δεχτούμε τον περιορισμό της μοντέρνας φυσικής (που μπορεί και να μην είναι περιορισμός στην περίπτωση που η φύση απλά λειτουργεί έτσι χωρίς να υπάρχει βαθύτερος μηχανισμός) και ας ακολουθήσουμε την πορεία των ιδεών στη φυσική.

(Στην φωτογραφία, στην αρχή του post, βλέπουμε στην πράξη την μερική ανάκλαση του φωτός. Όταν είμαστε έξω από το νερό βλέπουμε το φεγγάρι να καθρεφτίζεται στο νερό επειδή ένα μέρος από το φως έχει ανακλαστεί, ενώ αν μπούμε μέσα στο νερό θα δούμε πάλι το φεγγάρι, επειδή ένα μέρος από το φως έχει περάσει μέσα στο νερό χωρίς να ανακλαστεί.)

Υ.Γ. Αν κάτι από αυτά που λέω δεν είναι σαφές, παρακαλώ να μου το πείτε για να το ξεκαθαρίσουμε τελείως! Στόχος μου είναι η σαφήνεια. Θέλω όλα να τα εξηγούμε όσο πιο καθαρά γίνεται! Μόνο αν τα κάνουμε τελείως νια-νια θα μπορέσουμε να αφομοιώσουμε αυτές τις δύσκολες έννοιες και να καταλάβουμε τι μας λέει η επιστήμη. Στόχος μας είναι η κατανόηση και ο προβληματισμός, όχι η... παπαγαλία! Γι'αυτό άλλωστε και εγώ δεν αντιγράφω από το βιβλίο αλλά τα λέω με δικά μου λόγια!

Κβαντική Ηλεκτροδυναμική

Τι είναι η κβαντική ηλεκτροδυναμική; Είναι το κομμάτι εκείνο της μοντέρνας φυσικής που ασχολείται με τις αλληλεπιδράσεις του φωτός και των ηλεκτρονίων. Όπως θα καταλάβετε από τα άρθρα που θα ακολουθήσουν πρόκειται για ένα τρομερά σημαντικό ζήτημα που έχει πολλές σαγηνευτικές πτυχές.

Η κουβέντα μας θα γίνει με αφορμή το βιβλίο του Richard Feynman "Κβαντική Ηλεκτροδυναμική - Η παράξενη θεωρία του φωτός και της ύλης", ένα βιβλίο που περιλαμβάνει τέσσερις διαλέξεις που έδωσε ο νομπελίστας φυσικός σε ένα ευρύ κοινό στο UCLA. Για τις ανάγκες του blog, θα το ξαναδιαβάσω και θα ξαναδώ τις σημειώσεις μου, ώστε να είμαι σίγουρος ότι έχω καταλάβει καλά αυτά που γράφει, για να μπορέσω να γράψω με σαφήνεια στο blog.

Θα μου πείτε, αφού το βιβλίο είναι του Feynman, γιατί μας βάζεις φωτογραφία του Bohr; Ξεκινώ με τον Bohr, γιατί το βιβλίο είναι ένα εξαιρετικό παράδειγμα της φιλοσοφίας του Bohr, της άποψης δηλαδή εκείνης στην μοντέρνα φυσική που λέει ότι η κβαντομηχανική δεν ασχολείται με το γιατί λειτουργεί έτσι η φύση, ή με το τι σημαίνουν όλα αυτά τα δεδομένα που προκύπτουν από τα πειράματα, αλλά με το τι συμβαίνει και με το πώς μπορούμε να κάνουμε υπολογισμούς.

Ας το πω πιο απλά: Η σύγχρονη φυσική έχει βρει ότι η φύση συμπεριφέρεται εξαιρετικά παράξενα στο υποατομικό επίπεδο. Τα πειράματα δείχνουν πράγματα που οι παλιές θεωρίες δεν μπορούσανε να ερμηνεύσουν και έτσι δημιουργήθηκε μια νέα θεωρία, η οποία ναι μεν περιγράφει αυτά που μας δίνουν τα πειράματα, αλλά δεν εξηγεί γιατί συμβαίνει αυτό, δε μας δίνει εξήγηση για τη βαθύτερη φύση των αντικειμένων με τα οποία ασχολείται, για τα φωτόνια και τα ηλεκτρόνια.

Αυτό θα το καταλάβετε καλύτερα όταν θα προχωρήσουμε και θα δούμε και παραδείγματα.

Ο Niels Bohr βοήθησε να ξεκολλήσει η σύγχρονη φυσική από τα φιλοσοφικά προβλήματα που δημιουργούσαν τα αποτελέσματα των πειραμάτων. Έτσι έγιναν φοβερά άλματα σχετικά με την περιγραφή του κόσμου και του τι συμβαίνει στην φύση, με κόστος ότι δεν έχουμε εξήγηση γιατί συμβαίνει αυτό που συμβαίνει.

Είναι γνωστή η αντίθεση του Einstein με τη στάση του Bohr. Ο Einstein είχε διαφορετικές φιλοσοφικές προϋποθέσεις και δεν μπορούσε να συμβιβαστεί με αυτή την αντίληψη για τη φυσική. Τα χρόνια όμως που ακολούθησαν η φυσική προχώρησε πάνω στις γραμμές που έθεσε ο Bohr και αυτό το βιβλίο κινείται απόλυτα μέσα στα πλαίσια των αντιλήψεων για την κβαντική φυσική που αυτός εξέφρασε.



Υ.Γ. Υπάρχει και άλλος ένας λόγος για τον οποίο ξεκινώ με φωτογραφία του Bohr αντί του Feynman. Για να τη σπάσω στον Feynman που φρόντιζε πολύ προσεκτικά για την εικόνα του, δημιουργώντας έναν μύθο γύρω από το πρόσωπό του.

Mr. Feynman, :P

Rational Trigonometry: Από τη σκοπιά του μη ειδικού

Θα επιχειρήσω να εξηγήσω κάποιες βασικές αρχές από την πρόταση του Wildberger για την τριγωνομετρία και τη γεωμετρία. Αυτά που θα πω είναι από τη σκοπιά του μη ειδικού, οπότε ζητάω συγγνώμη αν έχω καταλάβει λάθος αυτά που λέει ο καθηγητής στο έργο του.

Καταρχάς οι νόμοι της γεωμετρίας του Wildberger μπορούν να αποδειχτούν χρησιμοποιώντας μόνο άλγεβρα και αριθμητική. Ανάλυση, σε αντίθεση με την κλασσική τριγωνομετρία, δε χρειάζεται. Οι υπολογισμοί είναι πολύ εύκολοι και δε χρειάζονται πίνακες με τριγωνομετρικούς αριθμούς ή υπολογιστές.

Πώς το καταφέρνει αυτό; Χρησιμοποιώντας μεθόδους αναλυτικής γεωμετρίας, με έναν διαφορετικό τρόπο. Θα εξηγήσω αμέσως πόσο διαφορετικός είναι αυτός ο τρόπος, αλλά πρώτα θέλω να γίνει σαφές ότι μιλάμε για άλγεβρα και αριθμητική, για συντεταγμένες και εξισώσεις και αναλογίες.

Ας δούμε τώρα τις διαφορές με αυτά που ξέραμε μέχρι τώρα. Καταρχάς, αντί για αξιώματα, έχει ξεκάθαρους ορισμούς. Για παράδειγμα, ως σημείο ορίζεται ένα διατεταγμένο ζεύγος αριθμών και ως ευθεία ορίζεται μια αναλογία τριών αριθμών < a : b : c > με a και b να μην είναι και οι δυο μηδέν.

Οι απλοί και ξεκάθαροι ορισμοί είναι ένα πολύ ισχυρό ατού της πρότασής του. Με αυτόν τον τρόπο, ο κίνδυνος της ασάφειας μπλοκάρεται από τα θεμέλια της γεωμετρίας. Είναι πολύ σημαντικό να καταλαβαίνουμε πλήρως για τι πράγμα μιλάμε, ειδικά στις βάσεις των μαθηματικών, γιατί άμα από την αρχή εισχωρήσει η ασάφεια, μετά όλο το οικοδόμημα θα είναι προβληματικό.

Και επειδή αντί για αυθαίρετα αξιώματα έχουμε απλούς ορισμούς, βρισκόμαστε πιο κοντά στο πνεύμα της γεωμετρίας του Ευκλείδη. Ο μεγάλος αρχαίος μαθηματικός, με τα αξιώματά του, μίλησε για πράγματα που θεωρούσε αυτονόητα, τα οποία δεν έχρηζαν εξήγησης. Αντίθετα, πολλοί μοντέρνοι μαθηματικοί έκτισαν ολόκληρα οικοδομήματα στηριζόμενοι σε δικά τους αυθαίρετα αξιώματα, νομίζοντας πως έκαναν μαθηματικά με τον τρόπο του Ευκλείδη.

Αλλά εκείνος δεν είχε στον νου του, τουλάχιστον όπως φαίνεται από τα Στοιχεία, τη δημιουργία ενός τεχνητού και αυθαίρετου νοητικού οικοδομήματος, αλλά την περιγραφή μαθηματικών που έχουν άμεση σχέση με την πραγματικότητα και των οποίων οι έννοιες είναι εύκολα αντιληπτές. Ε, με τους ορισμούς του ο Wildberger αμφισβητεί ευθέως τον δρόμο που πήραν τα σύγχρονα μαθηματικά. Το πόσο πετυχημένα το κάνει, είναι κάτι που θα το αποφασίσουν οι ειδικοί. Όπως και να έχει, το ερώτημα για την φύση των μαθηματικών και τη σχέση τους με την πραγματικότητα έχει τεθεί.

Στη συνέχεια, ο Wildberger εισάγει δυο έννοιες, που θα παίξουν σημαντικό ρόλο στη γεωμετρία του. Την έννοια του quadrance και την έννοια του spread. Θυμηθείτε από την αναλυτική γεωμετρία την έννοια της απόστασης δύο σημείων Α (x, y) και B (z, w), που είναι η τετραγωνική ρίζα του (z - x)^2 + (w - y)^2. Ε, το quadrance είναι το τετράγωνο αυτής της απόστασης, δηλαδή το (z - x)^2 + (w - y)^2. Με αυτόν τον τρόπο, διώχνει τις τετραγωνικές ρίζες από από τις θεμελιώδεις έννοιες.

Έτσι, αντί για την απόσταση δίνει το προβάδισμα στο τετράγωνό της, που είναι πιο εύκολο να το χειριστεί κανείς στους υπολογισμούς.

Και αντί για την γωνία και το ημίτονο, δίνει το προβάδισμα στο spread, που αντιστοιχεί στο τετράγωνο του ημιτόνου και για δυο ευθείες < a : b : c > και < d : e: f > με a^2 + b^2 διάφορο του μηδενός και d^2 + e^2 διάφορο του μηδενός ορίζεται ως (ae - db)^2 / ((a^2+b^2)(d^2+e^2)) Με το spread έχουμε ένα εύκολο μέτρο της σχέσης δυο ευθειών, το οποίο ορίζεται και υπολογίζεται εύκολα.

Με τη βοήθεια αυτών των δυο βασικών εννοιών, χτίζει με τρόπο λογικό και σαφή την τριγωνομετρία και τη γεωμετρία.

Έχετε απορίες; Πώς σας φαίνεται σαν ιδέα;